신호와 정보

비트를 무엇에 싣나

정보를 멀리 보내려면 무언가 물리적인 것을 “바꿔야” 한다. 봉화는 연기의 유무로, 모스 전신은 전류가 흐르는 시간의 길고 짧음으로 정보를 실었다. 시간에 따라 변하는 이런 물리량을 신호(signal)라 한다. 오늘날 네트워크가 쓰는 신호는 크게 세 가지다.

아날로그와 디지털: 왜 디지털이 이기나

옛 전화는 목소리의 공기 진동을 그대로 닮은 전압을 보냈다. 이렇게 연속적으로 아무 값이나 가질 수 있는 신호를 아날로그 신호(analog signal)라 한다. 반면 정해진 몇 개의 값(예: +1 V와 −1 V)만 쓰는 신호를 디지털 신호(digital signal)라 한다.

신호는 먼 길을 가며 약해지므로 중간중간 키워 줘야 한다. 여기서 둘의 운명이 갈린다. 아날로그 증폭기는 신호와 이미 섞여 든 잡음을 구분할 수 없어 둘 다 키운다. 구간을 지날 때마다 새 잡음이 더해지고, 쌓인 잡음은 다시는 빠지지 않는다. 디지털 중계기는 다르다. “이건 +1에 가까우니 1이다”라고 판정한 뒤 깨끗한 새 신호를 다시 만들어 보낸다. 이를 재생 중계(regeneration)라 한다. 판정이 틀리지 않는 한 잡음은 구간마다 리셋된다.

그래서 오늘날 전화, 방송, 인터넷은 모두 디지털이다. 목소리나 영상 같은 아날로그 정보도 먼저 숫자로 바꾼(샘플링·양자화) 뒤 보낸다. 다만 “디지털 신호”라 해도 선 위를 달리는 것은 결국 아날로그 전압이나 빛이다. 디지털의 힘은 신호가 아니라 받는 쪽이 정해진 값 중 하나로 판정한다는 약속에서 나온다.

사인파: 주기, 주파수, 파장, 위상

신호를 다룰 때 가장 기본이 되는 모양은 사인파다. 그네의 흔들림, 용수철의 진동, 교류 전기, 전파가 모두 사인파를 그린다. 사인파는 세 가지 숫자로 완전히 정해진다.

• 진폭(amplitude): 얼마나 크게 흔들리나. 신호의 세기.
• 주파수(frequency): 1초에 몇 번 반복하나. 단위 Hz(헤르츠). 주기 T의 역수다.
• 위상(phase): 한 주기 안에서 지금 어디쯤인가. 0~360°로 나타낸다. 같은 주파수의 두 파동이 180° 어긋나면 서로 상쇄된다.

여기에 신호가 공간을 지나가는 속도를 곱하면 파장(wavelength)이 나온다. 파장은 안테나 크기(11장), 광섬유의 색(5장), 칩 위 배선의 설계(16장)를 정하는 중요한 길이다.

푸리에: 네모난 신호도 사인파들의 합이다

디지털 신호는 네모나게 생겼다. 그런데 1807년 프랑스 수학자 조제프 푸리에는 놀라운 주장을 했다. 어떤 반복 신호든 주파수가 정수 배인 사인파들의 합으로 나타낼 수 있다. 기본 주파수 f₀의 사인파에 3f₀, 5f₀, 7f₀… 사인파를 점점 작게 더하면 네모파가 된다. 이렇게 기본 주파수의 정수 배인 성분들을 고조파(harmonics)라 한다.

이것이 네트워크에서 중요한 이유는 모든 채널(구리선, 광섬유, 전파 대역)이 일정 범위의 주파수만 통과시키기 때문이다. 채널이 통과시키는 주파수의 폭을 채널의 대역폭(Hz)이라 한다. 대역폭이 좁으면 높은 고조파가 잘려 나가 네모파의 모서리가 둥글어진다. 비트를 빨리 보낼수록 네모가 좁아지고, 좁은 네모를 만들려면 더 높은 주파수가 필요하다. 바로 이 때문에 대역폭이 비트율을 제한한다.

대역폭과 비트율: 나이퀴스트, 보, 심볼

1928년 벨 연구소의 해리 나이퀴스트는 이렇게 정리했다. 대역폭이 B Hz인 채널로는 1초에 최대 2B개의 독립적인 펄스를 보낼 수 있다. 이 펄스 하나하나를 심볼(symbol)이라 하고, 1초에 보내는 심볼 수를 보(baud)라 한다. 이름은 전신 부호를 만든 에밀 보도에게서 왔다.

심볼 하나가 꼭 1비트일 필요는 없다. 전압을 두 단계가 아니라 네 단계로 나누면 심볼 하나에 2비트, 16단계면 4비트를 담는다. 레벨 수를 M이라 하면 심볼 하나에 log₂M 비트가 실린다.

그렇다면 레벨을 1,000개, 100만 개로 늘리면 끝없이 빨라질까? 잡음이 없다면 그렇다. 하지만 현실의 신호에는 늘 잡음이 섞여 있고, 레벨 간격이 잡음보다 좁아지면 이웃 레벨과 헷갈린다. 결국 속도의 진짜 한계는 대역폭과 잡음이 함께 정한다. 그 전에 잡음을 재는 단위부터 익히자.

잡음과 데시벨

잡음(noise)은 신호에 섞여 드는 원치 않는 무작위 요동이다. 가장 근본적인 것은 열잡음이다. 0 K보다 따뜻한 모든 도체 속 전자는 제멋대로 흔들리고, 그 흔들림이 작은 전압을 만든다. 상온에서 열잡음의 세기는 대역폭 1 Hz당 약 4×10⁻²¹ W, 데시벨로 −174 dBm/Hz다. 대역폭을 넓히면 잡음도 그만큼 더 들어온다. 그래서 20 MHz 폭 Wi-Fi 채널의 잡음 바닥은 약 −101 dBm이다.

신호가 잡음보다 얼마나 센지를 신호 대 잡음비(SNR, Signal-to-Noise Ratio)라 한다. 신호 전력이 잡음의 1,000배면 SNR = 1,000이다. 통신에서는 이런 비율이 1에서 10¹⁵까지 오가므로 곱셈을 덧셈으로 바꿔 주는 로그 단위, 데시벨(dB)을 쓴다.

데시벨의 진짜 힘은 손실 계산에서 나온다. 신호가 커넥터, 케이블, 분배기를 차례로 지나면 각 단계의 배수를 곱해야 하지만, dB로는 그냥 빼면 된다. 광섬유 50 km(−10 dB) 뒤 분배기(−15 dB)를 지나면 −25 dB, 원래의 약 1/300이다.

섀넌의 한계: 통신 속도의 천장

1948년 벨 연구소의 클로드 섀넌은 논문 「통신의 수학적 이론」에서 정보를 “비트”로 재는 법을 정하고, 잡음이 있는 채널의 최대 속도를 하나의 식으로 보였다. 이 값보다 느리게 보내면 오류를 얼마든지 0에 가깝게 줄이는 방법이 반드시 존재하고, 이보다 빠르면 어떤 방법으로도 불가능하다. 이 한계를 섀넌 용량(Shannon capacity)이라 한다.

식이 말해 주는 것은 두 가지다. 첫째, 용량은 대역폭에 정비례한다. 대역폭을 두 배로 늘리면 용량도 두 배가 된다. 그래서 통신사들은 주파수 경매에 조 단위 돈을 쓰고, Wi-Fi 7은 채널 폭을 320 MHz까지 넓혔다. 둘째, SNR에는 로그로만 비례한다. 신호를 두 배(+3 dB) 세게 해도 SNR이 높을 때는 1 Hz당 약 1비트밖에 늘지 않는다.

오류를 찾고, 고치기

섀넌 한계 아래라도 잡음은 가끔 비트를 뒤집는다. 비트가 틀릴 확률을 비트 오류율(BER, Bit Error Rate)이라 한다. 광 링크는 보정 후 10⁻¹² 이하, 무선은 보정 전 10⁻³ 정도도 흔하다. 해법은 데이터에 일부러 약간의 “여분”을 덧붙이는 것이다.

• 패리티(parity): 1의 개수가 짝수가 되도록 비트 하나를 덧붙인다. 1비트가 뒤집히면 홀수가 되어 들킨다. 두 개가 뒤집히면 못 찾는다.
• 체크섬(checksum): 데이터를 16비트씩 더한 합을 함께 보낸다. IP·TCP·UDP 헤더(3·9장)가 쓴다. 계산이 쉽지만 놓치는 오류가 있다.
• CRC(Cyclic Redundancy Check): 데이터를 하나의 큰 다항식으로 보고 정해진 다항식으로 나눈 나머지를 붙인다. 이더넷 프레임 끝의 32비트 CRC(6장)는 32비트 이하 길이로 몰려서 생긴 오류를 모두 잡아낸다. 회로로 만들기 쉬워 거의 모든 링크가 쓴다.

여기까지는 “틀렸다”는 것만 안다. 틀리면 다시 보내 달라고 해야 한다(재전송, 9장). 그런데 위성처럼 멀거나 생방송처럼 기다릴 수 없으면? 받는 쪽이 스스로 고칠 수 있을 만큼 여분을 넣는다. 이것이 FEC(Forward Error Correction, 순방향 오류 정정)다. 가장 고전적인 예가 1950년 리처드 해밍이 만든 해밍 코드(Hamming code)다. 데이터 4비트에 패리티 3비트를 붙여 7비트로 보내면, 어느 한 비트가 뒤집혀도 위치를 찾아내 고친다.

해밍 코드는 7비트 중 3비트가 여분이라 효율이 낮고 1비트밖에 못 고친다. 현대의 부호는 훨씬 길고 똑똑하다. 수천 비트를 한 묶음으로 엮고, 받는 쪽이 “이 비트가 1일 확률”을 서로 주고받으며 여러 번 고쳐 나간다. 이런 부호 덕분에 실제 시스템은 섀넌 한계에 1 dB 안쪽까지 다가간다. 섀넌이 존재만 증명했던 “한계 근처까지 가는 방법”을 50년 만에 실제로 찾은 셈이다.

다중화: 한 길을 여럿이 나눠 쓰기

해저 케이블 한 가닥, 휴대폰 주파수 한 대역은 매우 비싼 자원이다. 그래서 여러 사용자나 여러 신호가 하나의 매체를 나눠 쓰게 하는데, 이를 다중화(multiplexing)라 한다. 나누는 기준은 크게 네 가지다.

이 장에서 본 원리들은 뒤의 모든 장에서 다시 나온다. 구리선은 감쇠와 누화를 이기기 위해 라인 코딩과 이퀄라이저를 쓰고(4장), 광통신은 WDM과 강력한 FEC로 섀넌 한계에 다가가며(5장), 무선은 QAM과 OFDM, MIMO로 같은 대역폭에서 더 많은 비트를 짜낸다(12장). 칩 설계자들은 칩과 칩 사이 몇 cm 구간에서도 같은 싸움을 한다(16장).